Слагаемые от $1^3$ до $99^3$ разбиваются на 49 пар с одинаковой суммой индексов 100 плюс отдельное слагаемое $50^3$ — в каждой паре можно вынести множитель 100.

Задание учебника, раздел «Итоговое повторение: текстовые задачи и числа». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Группируем слагаемые в пары с суммой индексов 100

(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\ldots+(49^3+51^3)+50^3

Слагаемые от 1³ до 99³ сгруппированы в пары с суммой индексов 100 (1³ и 99³, 2³ и 98³, до 49³ и 51³) плюс отдельное 50³ — 49 пар и одно слагаемое — все кратны 100

В каждой паре выносим множитель по формуле суммы кубов

k^3+(100-k)^3=(k+(100-k))\big(k^2-k(100-k)+(100-k)^2\big)=100\cdot(\ldots)

Каждая из 49 пар кратна 100, проверяем последнее слагаемое

50^3=125000=100\cdot1250

Складываем все части суммы

\text{сумма}=100\cdot(\ldots)+100\cdot1250=100\cdot(\text{целое число})

Почему так

Каждое из 50 слагаемых суммы (49 пар и одно одиночное) в отдельности кратно 100, поэтому и вся сумма, как сумма чисел, кратных 100, тоже кратна 100.

Где здесь ошибаются

Ошибка — пытаться доказать делимость прямым вычислением всей суммы вместо разбиения на пары.

Вторая ошибка — забыть отдельное слагаемое $50^3$ , которое не входит ни в одну пару.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1190 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев