Номер 1195 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Записываем деление с остатком

$$p=30q+r, \quad 0\le r<30$$

Предполагаем, что $r$ делится на $2$, $3$ или $5$

$$30q \ \text{делится на} \ 2,3,5 \ \Rightarrow \ p=30q+r \ \text{тоже делилось бы}$$

Это противоречит простоте $p$ (для $p>5$), значит $r$ не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5

$$\gcd(r,30)=1$$

Любое составное число меньше 30 имеет делитель $2$, $3$ или $5$, значит такое $r$ может быть только $1$ или простым

$$r\in\{1,7,11,13,17,19,23,29\}\cup\{\text{остальные простые}<30\}$$

Почему так

Для $p=2,3,5$ остаток равен самому числу — тоже простое; для больших простых, например $p=37$, остаток $37-30=7$ — простое число, что подтверждает закономерность.

Где здесь ошибаются

Ошибка — доказывать утверждение только на нескольких примерах простых чисел, а не общим рассуждением через общий делитель с 30.

Вторая ошибка — забыть отдельно проверить случаи $p=2,3,5$, для которых $q=0$ и $r=p$.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.