Номер 1209 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Раскладываем на множители

$$p^2-1=(p-1)(p+1)$$

Делимость на 8

$p$ нечётно, значит $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа, одно из них кратно $4$, поэтому произведение кратно $8$

Делимость на 3

$p$ не кратно $3$, значит один из соседей $p-1$ или $p+1$ обязательно кратен $3$

Объединяем

$8$ и $3$ взаимно просты, значит произведение $(p-1)(p+1)$ кратно $8\cdot3=24$

Почему так

Проверка на $p=5$: $p^2-1=24$, делится на $24$ ровно один раз; на $p=7$: $p^2-1=48=24\cdot2$ — тоже кратно.

Где здесь ошибаются

Ошибка — доказать делимость только на $2$ вместо более сильного факта «на $8$», проверив лишь чётность одного из множителей.

Вторая ошибка — забыть, что $p>3$ существенно: для $p=3$ имеем $p^2-1=8$, что не кратно $24$.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.