Номер 1210 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Раскрываем $(p+1)^3$

$$(p+1)^3 = p^3+3p^2+3p+1$$

Вычитаем $p^3$

$$(p+1)^3-p^3 = 3p^2+3p+1 = 3p(p+1)+1$$

Смотрим на $p(p+1)$

это произведение двух последовательных чисел — одно из них обязательно чётное, значит $p(p+1)$ всегда чётно

Делаем вывод

раз $p(p+1)$ чётно, то $3p(p+1)$ кратно $6$, а вся разность $3p(p+1)+1$ даёт остаток $1$ при делении на $6$

Почему так

Проверка на $p=2$: $3^3-2^3=27-8=19=6\cdot3+1$ — остаток $1$; на $p=3$: $4^3-3^3=64-27=37=6\cdot6+1$ — тоже остаток $1$.

Где здесь ошибаются

Ошибка — забыть слагаемое $+1$ и решить, что разность сама по себе кратна $6$.

Вторая ошибка — не заметить, что $p(p+1)$ — произведение соседних чисел, и пытаться доказывать чётность отдельно для чётного и нечётного $p$ без общего вывода.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.