Номер 1211 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Складываем пять квадратов

$$(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 = 5x^2+10 = 5(x^2+2)$$

Проверяем остатки $x^2$ по модулю 5

квадрат любого целого числа даёт остаток $0$, $1$ или $4$ при делении на $5$

Смотрим на $x^2+2$

тогда $x^2+2$ даёт остаток $2$, $3$ или $1$ — но никогда не $0$, значит $x^2+2$ не делится на $5$

Делаем вывод о квадрате

если бы $5(x^2+2)$ было точным квадратом, оно делилось бы на $5$ дважды (то есть на $25$), а множитель $5$ в нём встречается ровно один раз

Почему так

Проверка на $x=3$ (числа $1,2,3,4,5$): сумма квадратов $1+4+9+16+25=55=5\cdot11$; $11$ не делится на $5$, значит $55$ не квадрат — и действительно, $7^2=49$, $8^2=64$, а $55$ между ними не попадает.

Где здесь ошибаются

Ошибка — проверить лишь несколько числовых примеров и сделать вывод «не квадрат», не доказав это для всех $x$.

Вторая ошибка — забыть, что для точного квадрата простой множитель должен входить в чётной степени, и не увидеть, почему один множитель $5$ это запрещает.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.