Номер 1212 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Число, не кратное $3$ , даёт остаток $1$ либо $2$ при делении на $3$ — разберём оба случая и в каждом найдём множитель, кратный $3$ .

Задание учебника, раздел «Итоговое повторение: тождества и делимость». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Раскладываем на множители

n^2-1=(n-1)(n+1)

Случай остатка 1

если $n=3k+1$ , то $n-1=3k$ — кратно $3$

Случай остатка 2

если $n=3k+2$ , то $n+1=3k+3=3(k+1)$ — кратно $3$

Две числовые прямые: для n равного 4 сосед n−1 равный 3 кратен трём, для n равного 5 сосед n+1 равный 6 тоже кратен трём — Оба остаточных случая проверены отдельно

Объединяем случаи

в обоих случаях один из множителей $(n-1)$ или $(n+1)$ делится на $3$ , значит и всё произведение делится на $3$

Почему так

Проверка на $n=4$ : $n^2-1=15=3\cdot5$ ; на $n=5$ : $n^2-1=24=3\cdot8$ — в обоих случаях делится на $3$ без остатка.

Где здесь ошибаются

Ошибка — проверить только один случай остатка (например, только $n=3k+1$ ) и не рассмотреть второй.

Вторая ошибка — забыть условие «не кратно $3$ » и попытаться доказать утверждение для всех $n$ , что неверно (например, $n=3$ даёт $n^2-1=8$ , не кратное $3$ ).

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.