Раскладываем левую часть на множители $(x-y)(x+y)=30$ и замечаем, что оба множителя обязаны быть одной чётности — а у делителей числа $30$ так не бывает.

Задание учебника, раздел «Итоговое повторение: тождества и делимость». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Раскладываем на множители

x^2-y^2=(x-y)(x+y)=30

Вводим обозначения

пусть $x-y=a$ , $x+y=b$ , тогда $ab=30$ и $a+b=2x$

Смотрим на чётность

сумма $a+b=2x$ обязана быть чётной, значит $a$ и $b$ — числа одной чётности

Проверяем делители 30

делители числа $30=2\cdot3\cdot5$ содержат ровно один множитель $2$ , поэтому в любой паре $(a,b)$ с $ab=30$ один множитель чётный, а другой нечётный

Четыре разложения числа 30 на два множителя: 1×30, 2×15, 3×10, 5×6 — в каждой паре один множитель чётный, другой нечётный — Ни одна пара делителей не одной чётности

Почему так

Перебор всех разложений: $1\cdot30$ , $2\cdot15$ , $3\cdot10$ , $5\cdot6$ — в каждой паре один множитель чётный, другой нечётный, сумма всегда нечётна и не может равняться чётному $2x$ .

Где здесь ошибаются

Ошибка — подбирать конкретные $x,y$ и, не найдя решения за несколько попыток, считать это доказательством.

Вторая ошибка — забыть учесть отрицательные делители $30$ (например, $-1\cdot(-30)$ ), хотя вывод о чётности от этого не меняется.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1214 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев