У многочлена с целыми коэффициентами разность значений в двух точках всегда делится на разность самих точек — это свойство и даёт противоречие.

Задание учебника, раздел «Итоговое повторение: тождества и делимость». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Вычисляем разность аргументов

62-19=43

Вычисляем разность значений

f(62)-f(19)=2-1=1

Применяем свойство делимости

для целых коэффициентов $(62-19)$ обязано делить $f(62)-f(19)$ , то есть $43$ должно делить $1$

Числовая прямая с точками 19 и 62 и расстоянием 43 между ними: значения многочлена в этих точках равны 1 и 2, а их разность 1 не делится на 43 — 43 не может делить разность значений 1

Приходим к противоречию

$43$ не делит $1$ ни при каких целых $a,b,c,d$ , значит такого многочлена не существует

Почему так

Проверка самого свойства делимости на простом примере: для $f(x)=x^3$ имеем $f(m)-f(n)=(m-n)(m^2+mn+n^2)$ — множитель $(m-n)$ действительно присутствует явно, что подтверждает общий факт для любого многочлена с целыми коэффициентами.

Где здесь ошибаются

Ошибка — пытаться подобрать конкретные $a,b,c,d$ методом проб вместо использования общего свойства делимости.

Вторая ошибка — забыть, что свойство делимости работает именно для целых коэффициентов, и не пояснить, почему это ограничение важно.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1215 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев