Номер 1216 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Группируем первые четыре слагаемых

$$x^4-z^4+2x^3z-2xz^3=(x^2-z^2)(x^2+z^2)+2xz(x^2-z^2)=(x^2-z^2)(x+z)^2$$

Сворачиваем в куб

$$(x^2-z^2)(x+z)^2=(x-z)(x+z)^3$$

Подставляем $4y^2=(x+z)^2$

$$-4x^2y^2+4y^2z^2=4y^2(z^2-x^2)=(x+z)^2(z-x)(z+x)=(x+z)^3(z-x)$$

Складываем обе части

$$(x-z)(x+z)^3+(x+z)^3(z-x)=(x+z)^3\big[(x-z)+(z-x)\big]=0$$

Почему так

Проверка на числах $x=1,z=3$ (тогда $y=2$): $1+6-54-81-16+144=0$ — подставляя в исходное выражение, действительно получаем ноль.

Где здесь ошибаются

Ошибка — подставить $y=\frac{x+z}{2}$ сразу во все члены и раскрыть в лоб, получив громоздкое выражение, в котором легко потерять знак.

Вторая ошибка — забыть, что $(x-z)$ и $(z-x)$ отличаются знаком, и не увидеть, что их сумма равна нулю.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.