Номер 1217 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Проверяем $p=2$

$4-2q^2=1$ не даёт целого $q$, значит $p$ нечётно

Раскладываем на множители

$$p^2-1=2q^2\ \Rightarrow\ (p-1)(p+1)=2q^2$$

Смотрим на чётность

при нечётном $p$ оба множителя $p-1,p+1$ чётные, их произведение делится на $4$, значит $2q^2$ делится на $4$, то есть $q$ — чётное простое число, а значит $q=2$

Находим p

$$(p-1)(p+1)=2\cdot4=8\ \Rightarrow\ p^2=9\ \Rightarrow\ p=3$$

Почему так

Проверка: $p=3$, $q=2$: $3^2-2\cdot2^2=9-8=1$ — равенство выполняется, оба числа простые.

Где здесь ошибаются

Ошибка — перебирать пары простых чисел наугад, не сузив поиск через чётность, и легко пропустить единственное решение.

Вторая ошибка — забыть проверить, что $q$ должно быть именно чётным простым числом, то есть равным $2$, а не любым чётным числом.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.