Раз наибольший общий делитель чисел равен $24$ , оба числа кратны $24$ — запишем их как $24m$ и $24n$ с взаимно простыми $m,n$ и решим уравнение для суммы.

Задание учебника, раздел «Итоговое повторение: тождества и делимость». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Записываем числа через 24

$a=24m$ , $b=24n$ , где $\text{НОД}(m,n)=1$

Подставляем в сумму

24m+24n=168\ \Rightarrow\ m+n=7

Перебираем натуральные m,n

$(1,6),(2,5),(3,4)$ — все пары взаимно простые, так как $7$ простое число и не делится ни на что, кроме $1$ и $7$

Возвращаемся к числам

24\cdot1=24,\ 24\cdot6=144;\quad 24\cdot2=48,\ 24\cdot5=120;\quad 24\cdot3=72,\ 24\cdot4=96

Три полоски длиной 168, разбитые в точке общего делителя 24 на пары: 24 и 144, 48 и 120, 72 и 96 — все три пары дают сумму 168 — Три пары чисел с одинаковым НОД 24

Почему так

Проверка одной пары: $24+144=168$ и $\text{НОД}(24,144)=24$ — оба условия выполняются; так же проверяются и остальные две пары.

Где здесь ошибаются

Ошибка — найти только одну пару чисел и не заметить, что уравнение $m+n=7$ имеет несколько подходящих натуральных решений.

Вторая ошибка — не проверить взаимную простоту $m$ и $n$ , хотя в данном случае это выполняется автоматически, поскольку $7$ — простое число.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1223 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев