Номер 397 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Проверяем выражения с чётной степенью и положительной константой на строгую положительность

$$a^2+1\geq0+1=1>0;\quad 3+(5-a)^2\geq3+0=3>0;\quad a^4+a^2+8\geq0+0+8=8>0$$

Проверяем выражения с чётной степенью и отрицательной константой на строгую отрицательность

$$-a^6-4a^8-1\leq0-0-1=-1<0;\qquad -a^8-9\leq0-9=-9<0$$

Показываем, что $-a^4$ и $-a-a^3$ могут обращаться в ноль (не строго отрицательны)

$$\text{при } a=0:\ -a^4=0,\quad -a-a^3=0\ \Rightarrow\ \text{знак не постоянный}$$

Показываем, что линейные выражения $3a+4$, $-7a-4$ и $-a^2+8$ меняют знак

$$\text{при } a=0:\ 3a+4=4>0;\quad \text{при } a=-10:\ 3a+4=-26<0\ \Rightarrow\ \text{знак разный}$$

Почему так

Проверка на конкретных значениях: для $a^4+a^2+8$ при $a=0$ получаем $8$, при $a=100$ получаем огромное положительное число — знак не меняется. А для $-a^2+8$ при $a=0$ получаем $8>0$, а при $a=3$ получаем $-1<0$ — знак действительно меняется, значит это выражение исключено верно.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — отнести $-a^4$ к «только отрицательным», не заметив, что при $a=0$ значение равно нулю, а не отрицательному числу. Вторая ошибка — отнести $-a^2+8$ или $3a+4$ к выражениям постоянного знака, не проверив несколько разных значений $a$, включая большие по модулю.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.