В первых трёх выражениях есть значение $a$ , при котором знаменатель обращается в нуль. Нужно найти то единственное выражение, где этого не происходит ни при каком $a$ .

Задание из главы I «Выражения, тождества, уравнения», раздел «Числовые и буквенные выражения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Проверяем варианты 1–3

a-9=0 \ \text{при} \ a=9 \qquad a+4=0 \ \text{при} \ a=-4 \qquad a^2=0 \ \text{при} \ a=0

В каждом случае есть запрещённое значение — смысл теряется.

Проверяем вариант 4

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому:

a^2+1 \ge 0+1 = 1 > 0 \ \text{при любом} \ a

Знаменатель никогда не обращается в нуль.

Числовая прямая a с тремя выколотыми точками у первых трёх дробей и сплошной прямой без исключений у дроби со знаменателем a в квадрате плюс один — У a²+1 запрещённых значений нет

Почему так

Ключевая идея — прибавление единицы к квадрату «поднимает» знаменатель над нулём: даже при $a=0$ , когда $a^2$ минимален, знаменатель равен $1$ , а не $0$ .

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — решить, что раз в знаменателе стоит $a^2$ (вариант 3), то он «всегда положителен», забыв про случай $a=0$ .

Вторая ошибка — не проверить все четыре варианта до конца и выбрать неверный по внешнему сходству.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 40 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев