Квадрат любого числа неотрицателен, а часто и строго положителен после прибавления положительного числа — на этом основано сравнение каждого выражения с нулём.

Задание учебника, раздел «Степень с натуральным показателем». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Оцениваем а): произведение неотрицательного числа на положительный коэффициент

a^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 6a^2 \ge 0

Оцениваем б): смена знака у неотрицательного числа

a^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad -a^2 \le 0

Оцениваем в) и г): прибавление положительного числа или неотрицательный квадрат суммы

a^2+4 \ge 4 > 0; \qquad (a+4)^2 \ge 0

Оцениваем д): смена знака у неотрицательного числа и вычитание положительного

-a^2 \le 0 \quad\Rightarrow\quad -a^2-5 \le -5 < 0

Числовая прямая: a в квадрате всегда лежит справа от нуля или в нуле, поэтому a в квадрате плюс 4 не меньше 4 и больше нуля, а минус a в квадрате минус 5 не больше минус 5 и меньше нуля — Знаки выражений с a² на числовой прямой

Почему так

Проверка на конкретных значениях: при $a=0$ получаем а) $0$ , б) $0$ , в) $4$ , г) $16$ , д) $-5$ — все знаки совпадают с общими выводами (нестрогие неравенства в а), б), г) достигают равенства именно при $a=0$ ).

Где здесь ошибаются

В пунктах а) и г) забывают, что неравенство нестрогое — при $a=0$ (или при $a=-4$ в пункте г) выражение равно нулю, а не строго больше нуля.

В пункте г) путают $(a+4)^2$ с $a^2+4$ , считая, что оба выражения ведут себя одинаково, хотя первое всегда неотрицательно, а второе всегда положительно.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 425 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев