Номер 451 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Определяем знаки степеней $b$

$$b>0 \Rightarrow b^2>0,\ b^3>0$$

Определяем знаки степеней $a$

$$a<0 \Rightarrow a^2>0,\ a^3<0$$

Сравниваем произведения а)–г)

$$ab^2<0,\quad a^3b<0,\quad a^2b>0,\quad ab^3<0$$

Меняем знак в пункте д)

$$-ab^3 = -(\text{отрицательное}) >0$$

Смотрим на суммы и квадраты е)–з)

$$a^2+b^2>0,\quad (a+b)^2\ge 0,\quad (a-b)^2>0$$

Почему так

Проверка через частный пример: $a=-1,\ b=2$. Тогда $ab^2=-4<0$, $a^3b=-2<0$, $a^2b=2>0$, $ab^3=-8<0$, $-ab^3=8>0$, $a^2+b^2=5>0$, $(a+b)^2=1\ge0$, $(a-b)^2=9>0$ — все знаки совпадают с общим выводом.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — считать $(a+b)^2$ строго положительным: при $a=-b$ (например $a=-2,\ b=2$) сумма равна нулю, поэтому верна только нестрогая оценка $\ge 0$.

Вторая ошибка — путать чётные и нечётные степени числа $a$: $a^2>0$, а $a^3<0$, хотя само число $a$ одно и то же.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.