Удобно заметить, что $a^2+a+17=a(a+1)+17$ ; выражение делится на 17 ровно тогда, когда $a(a+1)$ делится на 17, то есть при $a=17k$ или $a=17k-1$ — первое такое натуральное значение (после тривиального a=0) это $a=16$ .

Задание учебника, раздел «Свойства степени и делимость чисел». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Проверяем несколько первых значений a

a=0{:}\ 17;\ \ a=1{:}\ 19;\ \ a=2{:}\ 23;\ \ a=3{:}\ 29;\ \ a=4{:}\ 37 \ \text{— все простые}

Продолжаем перебор

a=5{:}\ 47;\ \ a=8{:}\ 89;\ \ a=12{:}\ 173;\ \ a=15{:}\ 257 \ \text{— всё ещё простые}

Проверяем a=16 через удобное разложение

a^2+a+17=a(a+1)+17=16\cdot17+17=17\cdot(16+1)=17\cdot17=289

Убеждаемся, что 289 составное

289=17\times17 \ \Rightarrow\ \text{составное число}

Последовательность значений выражения a в квадрате плюс a плюс 17 при a от 0 до 16: все значения простые числа, пока при a=16 не получается составное число 289, равное 17 в квадрате — 16-е значение первым перестаёт быть простым

Почему так

При a=16 оба слагаемых $a(a+1)=272$ и $17$ делятся на 17, поэтому и вся сумма 289 делится на 17 нацело — в отличие от предыдущих значений, где 17 не является делителем суммы.

Где здесь ошибаются

Ошибка — перебирать значения a наугад и случайно пропустить a=16, приняв за ответ более позднее составное число.

Вторая ошибка — забыть проверить, что 289 действительно составное, спутав его с квадратом простого числа, который тоже составной, а не простой.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 500 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев