Номер 503 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

$p=2$

$$2^2-1=3$$

$3$ — простое.

$p=3$

$$2^3-1=7$$

$7$ — простое.

$p=5$ и $p=7$

$$2^5-1=31,\qquad2^7-1=127$$

$31$ и $127$ — оба простые.

$p=11$

$$2^{11}-1=2047=23\cdot89$$

$2047$ раскладывается на множители $23$ и $89$, значит составное — это первый случай, когда выражение не простое.

Почему так

Проверка делением: $2047 : 23 = 89$, и $23 \cdot 89 = 2047$ — совпадает, значит разложение верное и число действительно составное.

Где здесь ошибаются

Ошибка — считать, что раз $p$ простое, то и $2^p-1$ всегда простое (числа такого вида называют числами Мерсенна, но это лишь частая закономерность, а не теорема).

Вторая ошибка — пропустить проверку промежуточных простых чисел (3, 5, 7) и сразу взять 11 без обоснования, почему меньшие значения не подходят.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.