Номер 524 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

а) доказываем делимость на 9

$10^n-1$ — это число из $n$ девяток ($\underbrace{99...9}_{n}$), так как $10^n=1\underbrace{00...0}_{n}$ и при вычитании 1 все нули превращаются в девятки. Сумма цифр такого числа делится на 9, значит оно делится на 9 нацело: $\dfrac{10^n-1}{9}=\underbrace{11...1}_{n}$ — целое число из $n$ единиц.

б) доказываем делимость на 9

$$10^n+8=(10^n-1)+9$$

Оба слагаемых делятся на 9 (первое — по пункту а), второе очевидно), значит и сумма делится на 9: $\dfrac{10^n+8}{9}=\underbrace{11...1}_{n}+1$.

в) доказываем делимость на 3

$$10^n-4=(10^n-1)-3$$

Число $10^n-1$ делится на 9, а значит и на 3; вычитаемое 3 тоже делится на 3 — значит и вся разность делится на 3 нацело.

Проверяем на конкретном n=3

$$\dfrac{10^3-1}{9}=\dfrac{999}{9}=111,\quad\dfrac{10^3+8}{9}=\dfrac{1008}{9}=112,\quad\dfrac{10^3-4}{3}=\dfrac{996}{3}=332$$

Все три результата — целые натуральные числа, что подтверждает доказательство для конкретного случая.

Почему так

Проверка на $n=1$: $\dfrac{9}{9}=1$, $\dfrac{18}{9}=2$, $\dfrac{6}{3}=2$ — все результаты натуральные, что согласуется с общим доказательством через остатки.

Где здесь ошибаются

Ошибка — пытаться доказать утверждение вычислением для одного конкретного n вместо общего доказательства через остатки, работающего для любого n.

Вторая ошибка — неверно определить, сколько девяток в числе $10^n-1$, перепутав их количество с $n-1$ или $n+1$.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.