В каждой паре нужно привести оба выражения к степеням с одинаковым показателем (или одинаковым основанием), после чего сравнение сведётся к сравнению оснований.

Задание учебника, раздел «Свойства степени и делимость чисел». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

а) раскладываем 10^7 и сравниваем с 2^8·5^7

10^7=(2\cdot5)^7=2^7\cdot5^7 < 2^8\cdot5^7 \ \text{(т.к. } 2^7<2^8\text{)}

б) раскладываем 6^12 и сравниваем с 2^13·3^11

6^{12}=(2\cdot3)^{12}=2^{12}\cdot3^{12} \ \text{против} \ 2^{13}\cdot3^{11} \ \Rightarrow \ 3 \ \text{против} \ 2 \ \Rightarrow \ 6^{12}>2^{13}\cdot3^{11}

Две схемы сравнения через общий множитель: 10⁷=2⁷·5⁷ против 2⁸·5⁷ сводится к сравнению 2⁷ и 2⁸; 6¹²=2¹²·3¹² против 2¹³·3¹¹ сводится к сравнению 3 и 2 — Сравнение степеней через сокращение общего множителя

в) приводим обе части к показателю 50

25^{25}=5^{50},\quad 2^{50}\cdot3^{50}=6^{50} \ \Rightarrow \ 5^{50}<6^{50}

г) приводим обе части к показателю 30

3^{60}\cdot5^{30}=9^{30}\cdot5^{30}=45^{30} \ \Rightarrow \ 63^{30}>45^{30}

Почему так

В каждом случае после приведения к общему показателю сравнение сводится к сравнению оснований (5 и 6, 63 и 45 и т.д.), что легко проверить напрямую.

Где здесь ошибаются

Ошибка — сравнивать исходные степени «на глаз» без приведения к общему основанию или показателю; в б) — забыть сократить общий множитель $2^{12}\cdot3^{11}$ и сравнить оставшиеся 3 и 2 неверно.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 543 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев