Номер 552 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Сворачиваем степень в пункте а)

$$3^{4k} = (3^4)^k = 81^k$$

Смотрим на последнюю цифру основания

число $81$ оканчивается на $1$; при умножении числа, оканчивающегося на $1$, само на себя, последняя цифра всегда остаётся $1$, значит $81^k$ оканчивается на $1$ при любом $k$

Записываем $10^k - 1$ в пункте б)

$$10^k - 1 = \underbrace{99\ldots9}_{k}$$

Выносим множитель 9

$$\underbrace{99\ldots9}_{k} = 9 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{k}$$

Делаем вывод о делимости

так как $9 = 3 \cdot 3$ делится на $3$, всё произведение $9 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{k}$ делится на $3$, значит $10^k - 1$ кратно $3$ при любом натуральном $k$

Почему так

Проверка при $k=2$: $3^8 = 6561$ действительно оканчивается на $1$; $10^2 - 1 = 99 = 3 \cdot 33$ действительно делится на $3$.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — доказывать утверждение проверкой на одном значении $k$ вместо общего доказательства через свойства степени и разложение на множители.

Вторая ошибка в пункте б) — пытаться делить каждую девятку отдельно, не замечая, что $99\ldots9 = 9 \cdot 11\ldots1$.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.