Номер 575 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов тоже неотрицательна, а прибавление единицы делает всё выражение строго положительным.

Задание учебника, раздел «Многочлены». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Оцениваем каждый квадрат отдельно

x^2 \ge 0, \qquad y^2 \ge 0

Складываем оценки

x^2+y^2 \ge 0

Прибавляем единицу к обеим частям неравенства

x^2+y^2+1 \ge 0+1 = 1

Делаем итоговый вывод

так как $x^2+y^2+1 \ge 1$ , а $1>0$ , то многочлен $x^2+y^2+1$ строго положителен при любых $x$ и $y$

Схема-конвейер доказательства: x в квадрате не меньше нуля и y в квадрате не меньше нуля, их сумма складывается и не меньше нуля, после прибавления единицы получаем x²+y²+1 не меньше единицы и больше нуля — x²+y²+1 ≥ 1 > 0

Почему так

Проверка в крайнем случае $x=0,\ y=0$ : значение многочлена равно $0+0+1=1$ — это наименьшее возможное значение, и оно уже положительно, что подтверждает доказательство.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — попытаться подобрать конкретные значения $x$ и $y$ , чтобы «занулить» выражение, вместо общего доказательства через неотрицательность квадрата любого действительного числа.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.