Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Номер 581 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Условие · номер 581

(Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb‾−a\overline{abbb}-a делится на 37. 1) Проверьте верность этого утверждения для разности: а) 2555−22555-2; б) 7111−77111-7; в) 8999−88999-8; г) 9666−99666-9. 2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

Дано

  • четырёхзначное число abbb‾\overline{abbb} (первая цифра aa, три одинаковые цифры bb)

Найти

делится ли разность abbb‾−a\overline{abbb}-a на 37 в примерах и в общем виде

Сначала проверим утверждение на конкретных числах прямым делением, а затем распишем abbb‾\overline{abbb} через разряды и разложим разность на множители.

Задание учебника, раздел «Многочлены». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Проверяем пример а)

2555−2=2553=37⋅692555-2=2553=37\cdot69

Проверяем примеры б), в), г)

7111−7=7104=37⋅192;  8999−8=8991=37⋅243;  9666−9=9657=37⋅2617111-7=7104=37\cdot192;\ \ 8999-8=8991=37\cdot243;\ \ 9666-9=9657=37\cdot261

Записываем число abbb‾\overline{abbb} через разряды

abbb‾=1000a+100b+10b+b=1000a+111b\overline{abbb}=1000a+100b+10b+b=1000a+111b

Вычитаем aa и раскладываем на множители

1000a+111b−a=999a+111b=111(9a+b)1000a+111b-a=999a+111b=111(9a+b)

Показываем, что 111 кратно 37

111=37⋅3 ⇒ 111(9a+b)=37⋅3(9a+b)111=37\cdot3\ \Rightarrow\ 111(9a+b)=37\cdot3(9a+b)
Схема-конвейер доказательства: разность abbb минус a равна 999a плюс 111b, выносим общий множитель 111 и получаем 111(9a+b), а 111 равно 37 умножить на 3, значит разность всегда кратна 37
111(9a+b) = 37·3(9a+b)
Ответ

все четыре разности делятся на 37; в общем виде abbb‾−a=111(9a+b)\overline{abbb}-a=111(9a+b), а 111=37⋅3111=37\cdot3, значит разность всегда кратна 37

Почему так

Проверка через частное: 2553:37=692553:37=69 — целое число без остатка, и разложение 111(9a+b)111(9a+b) при a=2,b=5a=2,b=5 даёт 111⋅23=2553111\cdot23=2553, что совпадает.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — считать, что abbb‾\overline{abbb} равно 1000a+111b1000a+111b и сразу делить это выражение, а не разность abbb‾−a\overline{abbb}-a.

Вторая ошибка — не заметить, что 999a=111⋅9a999a=111\cdot9a, и не суметь вынести общий множитель 111 за скобки.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Не сходится ответ?

Пришлите номер задания или фото страницы — ИИ разберёт решение по шагам

Разобрать задание

А можно не писать самому