Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Номер 733 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Условие · номер 733

Докажите, что произведение n(2n+1)(7n+1)n(2n+1)(7n+1) делится на 66 при любом натуральном nn.

Дано

  • n — натуральное число

Найти

доказать делимость n(2n+1)(7n+1) на 6

Число делится на 6, если делится и на 2, и на 3 одновременно — проверим оба условия по чётности и остаткам при делении на 3.

Задание учебника, раздел «Умножение многочлена на многочлен. Способ группировки». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Делимость на 2: если n чётно

n чётно⇒n(2n+1)(7n+1) чётноn \text{ чётно} \Rightarrow n(2n+1)(7n+1) \text{ чётно}

Делимость на 2: если n нечётно

n нечётно⇒7n нечётно⇒7n+1 чётноn \text{ нечётно} \Rightarrow 7n \text{ нечётно} \Rightarrow 7n+1 \text{ чётно}

Делимость на 3 по остаткам n

n≡0, 2n+1≡0 при n≡1, 7n+1≡0 при n≡2(mod3)n\equiv 0,\ 2n{+}1\equiv 0 \text{ при } n\equiv1,\ 7n{+}1\equiv 0 \text{ при } n\equiv2 \pmod3
Схема двух пересекающихся условий: произведение n умножить на 2n плюс 1 умножить на 7n плюс 1 делится на 2 и на 3 при любом n, их пересечение даёт делимость на 6
Делимость на 6 требует выполнения обоих условий
Ответ

доказано: произведение делится на 6 при любом n

Почему так

Проверка на n=1: 1·3·8=24=6·4 — делится на 6; на n=2: 2·5·15=150=6·25 — тоже делится.

Где здесь ошибаются

Ошибка — доказать делимость только на 2 или только на 3 и посчитать доказательство завершённым, забыв, что для делимости на 6 нужны оба условия сразу.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Не сходится ответ?

Пришлите номер задания или фото страницы — ИИ разберёт решение по шагам

Разобрать задание

А можно не писать самому