Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Номер 740 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Условие · номер 740

Докажите, что при любом значении xx разность многочленов принимает положительное значение: 134x4−18x3−114x2+25x+571\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{8}x^3-1\frac{1}{4}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{5}{7} и 0,75x3−0,125x2−2,225x2+0,4x−370{,}75x^3-0{,}125x^2-2{,}225x^2+0{,}4x-\frac{3}{7}.

Дано

  • первый многочлен 134x4−18x3−114x2+25x+571\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{8}x^3-1\frac{1}{4}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}
  • второй многочлен 0,75x3−0,125x2−2,225x2+0,4x−370{,}75x^3-0{,}125x^2-2{,}225x^2+0{,}4x-\frac{3}{7}

Найти

доказать, что разность многочленов положительна при любом x

Найдём разность многочленов, приведя подобные, а затем выделим полный квадрат по x, чтобы показать, что вся сумма не меньше положительной константы.

Задание учебника, раздел «Умножение многочлена на многочлен. Способ группировки». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Находим разность многочленов

(134x4−18x3−114x2+25x+57)−(0,75x3−2,35x2+0,4x−37)\left(1\tfrac34x^4-\tfrac18x^3-1\tfrac14x^2+\tfrac25x+\tfrac57\right)-\left(0{,}75x^3-2{,}35x^2+0{,}4x-\tfrac37\right)

Приводим подобные слагаемые

=74x4−78x3+1110x2+87= \tfrac74x^4-\tfrac78x^3+\tfrac{11}{10}x^2+\tfrac87

Выделяем полный квадрат из первых двух слагаемых

74x4−78x3=74x2(x−14)2−764x2\tfrac74x^4-\tfrac78x^3 = \tfrac74x^2\left(x-\tfrac14\right)^2-\tfrac{7}{64}x^2

Складываем и оцениваем знак

74x2(x−14)2+(1110−764)x2+87≥87>0\tfrac74x^2\left(x-\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac{11}{10}-\tfrac{7}{64}\right)x^2+\tfrac87 \ge \tfrac87>0
Схема: разность многочленов равна сумме неотрицательного полного квадрата, неотрицательного слагаемого с x в квадрате и положительной константы 8 седьмых, вся сумма не меньше 8 седьмых
Сумма неотрицательных слагаемых и положительной константы всегда положительна
Ответ

доказано: разность равна 74x2(x−14)2+(1110−764)x2+87≥87>0\frac{7}{4}x^2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{11}{10}-\frac{7}{64}\right)x^2+\frac{8}{7} \ge \frac{8}{7} > 0

Почему так

Проверка при x=0: разность равна 8/7 ≈ 1,14 > 0; при любом другом x к этому значению добавляются только неотрицательные слагаемые, значит минимум разности — 8/7, что подтверждает положительность.

Где здесь ошибаются

Ошибка — забыть, что во втором многочлене есть два отдельных члена с x² (−0,125x² и −2,225x²), и не сложить их перед вычитанием, что даёт неверный коэффициент при x².

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Не сходится ответ?

Пришлите номер задания или фото страницы — ИИ разберёт решение по шагам

Разобрать задание

А можно не писать самому