Сложим многочлены и приведём подобные слагаемые, а затем покажем, что взятая с обратным знаком сумма всегда больше нуля — это и означает, что исходная сумма всегда отрицательна.

Задание учебника, раздел «Умножение многочлена на многочлен. Способ группировки». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Складываем многочлены по степеням a

\left(1{,}6a^5-1\tfrac13a^4-3{,}4a^3-a^2-1\right)+\left(-1{,}6a^5-\tfrac23a^4+3\tfrac13a^3\right)

Приводим подобные слагаемые

= -2a^4-\tfrac{1}{15}a^3-a^2-1

Выносим минус и выделяем полный квадрат

2a^4+\tfrac1{15}a^3 = 2a^2\left(a+\tfrac1{60}\right)^2-\tfrac{1}{1800}a^2

Оцениваем скобку и делаем вывод

2a^2\left(a+\tfrac1{60}\right)^2+\tfrac{1799}{1800}a^2+1 \ge 1 \Rightarrow \text{сумма} \le -1<0

Схема: сумма многочленов равна минус скобке из неотрицательного полного квадрата, неотрицательного слагаемого с a в квадрате и константы 1, взятая с минусом сумма не больше минус 1 — Скобка не меньше 1, поэтому сумма всегда отрицательна

Почему так

Проверка при a=0: сумма равна -1<0; при любом другом a добавляются только неотрицательные слагаемые к выражению в скобке, значит сумма остаётся не больше -1, то есть всегда отрицательна.

Где здесь ошибаются

Ошибка — при сложении a⁵-слагаемых не заметить, что 1,6=1 $\frac35$ , и посчитать, что члены с a⁵ не сокращаются, хотя на самом деле 1,6a⁵-1,6a⁵=0.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 741 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев