После раскрытия скобок и приведения подобных все линейные слагаемые с $y$ сокращаются — остаётся сумма квадрата и положительного числа, которая не может быть неположительной.

Задание учебника, раздел «Многочлены: делимость и практика». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Раскрываем первую скобку

(y+8)(y-7)=y^2+y-56

Раскрываем вторую скобку

4(0{,}25y-16)=y-64

Вычитаем и приводим подобные

y^2+y-56-(y-64)=y^2+y-56-y+64=y^2+8

Делаем вывод о знаке

Так как $y^2\ge0$ при любом $y$ , то $y^2+8\ge8>0$ — выражение всегда положительно, что и требовалось доказать.

Числовая прямая: выражение y в квадрате плюс 8 всегда не меньше 8, потому что квадрат любого числа неотрицателен — y² + 8 ≥ 8 > 0

Почему так

Проверка при $y=0$ : подставляя в исходное выражение, получаем $8\cdot(-7)-4\cdot(-16)=-56+64=8$ , что совпадает с $0^2+8=8$ — наименьшим возможным значением.

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — раскрыть $-4(0{,}25y-16)$ как $-y-64$ вместо $-y+64$ , потеряв знак при умножении минуса на минус.

Вторая ошибка — остановиться на промежуточном виде и не связать $y^2+8\ge8$ с требуемым выводом о положительности при любом $y$ .

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 779 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев