Площадь одной и той же фигуры считаем двумя способами: как разность площадей двух квадратов и как площадь прямоугольника, полученного перекраиванием этой фигуры.

Задание учебника, раздел «Разность квадратов». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Площадь исходного квадрата

S_{\text{кв}} = a^2

Площадь вырезанного в углу квадрата

S_{\text{выр}} = b^2

Площадь оставшейся Г-образной фигуры — первый способ (разность квадратов)

S = a^2 - b^2

Квадрат со стороной a, из угла которого вырезан меньший квадрат со стороной b: площадь оставшейся Г-образной фигуры равна a² минус b² — Площадь Г-образной фигуры равна разности квадратов

Ту же Г-образную фигуру разрезают на два прямоугольника (по рис. 72) и складывают в один прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$ — второй способ подсчёта площади

S = (a-b)(a+b)

Так как оба способа считают площадь одной и той же фигуры, выражения равны

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Та же Г-образная фигура, перекроенная в прямоугольник со сторонами (a−b) и (a+b): площадь та же самая, поэтому a²−b² равно (a−b)(a+b) — Перекроенная фигура доказывает формулу

Почему так

Проверка на числах: при $a=5,b=3$ площадь Г-фигуры $25-9=16$ , а прямоугольник $(5-3)(5+3)=2\cdot8=16$ — площади совпадают, значит перекраивание не меняет общую площадь.

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — считать, что после разрезания и перестановки частей фигуры площадь могла измениться; на самом деле она сохраняется, так как части те же самые.

Вторая ошибка — перепутать стороны итогового прямоугольника, написав $(a+b)$ и $(a+b)$ вместо $(a-b)$ и $(a+b)$ .

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 856 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев