Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Номер 900 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Условие · номер 900

(Задача-исследование.) Верно ли, что если pp — простое число, больше трёх, то значение выражения p2−1p^2 - 1 кратно 1212? 1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах. 2) Разложите многочлен p2−1p^2-1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 44. 3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 33. 4) Сделайте вывод.

Дано

  • pp — простое число, p>3p>3
  • выражение p2−1p^2-1

Найти

верно ли утверждение о кратности 1212, и почему

Раскладываем p²−1 на множители (p−1)(p+1) — это два соседних чётных числа, а среди трёх подряд идущих чисел p−1, p, p+1 одно обязательно кратно 3.

Задание учебника, раздел «Разность квадратов». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Проверяем на примерах

p=5: 25−1=24;p=7: 49−1=48;p=11: 121−1=120 — все кратны 12p=5: \ 25-1=24; \quad p=7: \ 49-1=48; \quad p=11: \ 121-1=120 \ \text{— все кратны } 12

Раскладываем на множители

p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=(p-1)(p+1)

Показываем делимость на 4

p нечётное ⇒ p−1, p+1 — два последовательных чётных числа, одно из них делится на 4p \ \text{нечётное} \ \Rightarrow \ p-1,\ p+1 \ \text{— два последовательных чётных числа, одно из них делится на } 4
Числовая прямая p−1, p, p+1 для простого p>3: p−1 и p+1 — соседние чётные числа (одно кратно 4), а среди трёх чисел одно всегда кратно 3, поэтому p²−1 кратно 12
Делимость p²−1 на 12

Показываем делимость на 3 и делаем вывод

p не делится на 3 ⇒ одно из p−1, p+1 делится на 3 ⇒ (p−1)(p+1) кратно 4⋅3=12p \ \text{не делится на } 3 \ \Rightarrow \ \text{одно из } p-1,\,p+1 \ \text{делится на } 3 \ \Rightarrow \ (p-1)(p+1) \ \text{кратно} \ 4\cdot3=12
Ответ

утверждение верно: p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=(p-1)(p+1) всегда делится на 1212 при простом p>3p>3

Почему так

Проверка на p=13: 169−1=168=12·14 — действительно кратно 12.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — забыть, что p само не делится на 3 (это условие простоты p>3), и не суметь объяснить, почему тогда кратен 3 именно один из соседних множителей.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Не сходится ответ?

Пришлите номер задания или фото страницы — ИИ разберёт решение по шагам

Разобрать задание

А можно не писать самому