Выражение целое, если в нём нет деления на переменную: деление на постоянное число (как на 8 или на 2) целостности не нарушает, а деление на $(a-3)$ — нарушает.

Задание учебника, раздел «Сумма и разность кубов». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Проверяем на деление на переменную

2xy,\ 4a-b(a-3b) \ - \ \text{только умножение и вычитание}

Деление на число не мешает

\dfrac{x^2-1}{8},\quad 9x-\dfrac12 \ - \ \text{деление на постоянные числа 8 и 2}

Деление на переменное выражение

\dfrac{a^2}{a-3} \ - \ \text{в знаменателе стоит выражение с переменной}

Схема классификации: выражения 2xy, 4a−b(a−3b), (x²−1)/8 и 9x−1/2 — целые; выражение a² делённое на (a−3) — не целое, так как в знаменателе переменная — Целые выражения и деление на переменную

Почему так

Ключевая проверка — посмотреть, стоит ли переменная в знаменателе: только в дроби $\dfrac{a^2}{a-3}$ знаменатель $(a-3)$ зависит от переменной, поэтому только это выражение не является целым.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — счесть дробь $\dfrac{x^2-1}{8}$ нецелой только из-за наличия черты дроби, не заметив, что знаменатель — постоянное число.

Вторая ошибка — не заметить деление на $(a-3)$ в первой дроби и отнести её к целым выражениям.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 918 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев