После разложения по формуле разности квадратов один из множителей (или их произведение) прямо содержит нужный делитель — этого достаточно для доказательства.

Задание учебника, раздел «Применение формул сокращённого умножения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Раскладываем (а)

(n+1)^2-(n-1)^2=((n+1)-(n-1))((n+1)+(n-1))=2\cdot2n=4n

Заключаем (а)

Значение $4n$ делится на $4$ при любом целом $n$ , что и требовалось доказать.

Раскладываем (г)

(5n+1)^2-(2n-1)^2=((5n+1)-(2n-1))((5n+1)+(2n-1))=(3n+2)\cdot7n

Заключаем (г)

Произведение $7n(3n+2)$ содержит множитель $7$ , значит делится на $7$ при любом натуральном $n$ .

Разность квадратов (5n+1)²−(2n−1)² раскладывается в произведение (3n+2)·7n, множитель 7n напрямую доказывает делимость на 7 — Множитель 7n доказывает делимость

Почему так

Проверка (а) при $n=3$ : $(4)^2-(2)^2=16-4=12=4\cdot3$ — действительно кратно $4$ .

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — забыть, что делимость доказывается видом $k\cdot(\text{целое})$ , и вместо этого подставить несколько чисел, что не является доказательством для всех $n$ .

Вторая ошибка — ошибиться в раскрытии скобок при вычитании, потеряв знак у второго множителя.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 984 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев