Как найти длину третьей стороны треугольника

Как найти длину третьей стороны треугольника: способ зависит от того, что дано в условии.

Если известны две стороны и угол между ними, применяют теорему косинусов: $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$.

Для прямоугольного треугольника с двумя катетами используют теорему Пифагора: $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Если угол неизвестен, третью сторону лишь оценивают неравенством треугольника — она меньше суммы и больше разности двух известных сторон.

Разбор по случаям

Примеры

По теореме косинусов. Стороны треугольника $a=7\text{ см}$, $b=8\text{ см}$, угол между ними $\gamma=60^\circ$.

По теореме косинусов: $c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cdot\cos60^\circ=49+64-56=57$.

Извлекаем квадратный корень и получаем длину третьей стороны: $c=\sqrt{57}\approx7{,}55\text{ см}$.

По теореме Пифагора. Прямоугольный треугольник с катетами $a=6\text{ см}$ и $b=8\text{ см}$.

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ см}$.

Это и есть длина третьей стороны — гипотенузы данного треугольника.

Частые ошибки

• Применяют теорему Пифагора к произвольному треугольнику, забывая, что она работает только для прямоугольного.
• Путают знак перед удвоенным произведением сторон в теореме косинусов и получают неверный результат.
• Пытаются найти точную длину стороны по двум сторонам без угла, хотя есть только диапазон значений.

Коротко

Как найти длину третьей стороны треугольника: при известном угле между сторонами применяют теорему косинусов, для прямоугольного треугольника — теорему Пифагора. Без угла третью сторону можно только ограничить неравенством треугольника, а не вычислить точно.