Как найти длину двух векторов

Чтобы понять, как найти длину двух векторов, для каждого отдельно применяют одну и ту же формулу: координаты возводят в квадрат, складывают и извлекают из суммы корень. Если вектор задан координатами $(x; y)$, его длина равна $\sqrt{x^2+y^2}$. Например, вектор с координатами 3 и 4 имеет длину 5, а вектор с координатами 6 и 8 — длину 10. Для каждого вектора вычисление проводят отдельно, а затем при желании сравнивают полученные результаты между собой.

$|a| = \sqrt{x^2+y^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы (3;4) и (6;8). Дан вектор $a$ с координатами $(3; 4)$ и вектор $b$ с координатами $(6; 8)$.

Длина первого вектора: $|a| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Длина второго вектора: $|b| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$.

Вектор $b$ ровно в два раза длиннее вектора $a$, хотя обе координаты тоже вдвое больше.

Вектор через точки M и N. Даны точки $M(1; 1)$ и $N(6; 13)$, вектор $MN$ идёт от первой точки ко второй.

Находим координаты вектора вычитанием: $MN = (6-1; 13-1) = (5; 12)$.

Длина вектора: $|MN| = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13$.

Такой способ применяют, когда вектор задан не готовыми координатами, а двумя точками на школьном чертеже.

Частые ошибки

• Забывают возвести обе координаты вектора в квадрат и просто складывают их без возведения в степень.
• Путают порядок вычитания координат точки начала и точки конца при составлении вектора по точкам.
• Забывают извлечь квадратный корень из полученной суммы и оставляют её саму вместо итоговой длины вектора.

Коротко

Чтобы понять, как найти длину двух векторов, для каждого отдельно вычисляют квадратный корень из суммы квадратов его координат. Длина вектора по координатам считается одинаково для плоскости, пространства и векторов, заданных через две точки на чертеже.