Как найти длину медианы в равнобедренном треугольнике

Как найти длину медианы в равнобедренном треугольнике: сначала определяют, к какой стороне она проведена. Медиана к основанию всегда совпадает с высотой и биссектрисой, поскольку треугольник симметричен, и находится через боковую сторону и половину основания по теореме Пифагора. Медиана к боковой стороне не совпадает с высотой и вычисляется по общей формуле медианы через квадраты двух известных сторон фигуры.

$m = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

Разбор по случаям

Примеры

Медиана в равнобедренном треугольнике: к основанию. Боковая сторона треугольника $a = 5$ см, основание $b = 6$ см.

Медиана к основанию равна высоте: $m = \sqrt{5^2 - \frac{6^2}{4}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ см}$.

Такая медиана делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4 см и гипотенузой 5 см, равной боковой стороне исходной фигуры. Результат несложно проверить теоремой Пифагора для одного из этих треугольников.

Медиана к боковой стороне. Для того же треугольника со сторонами $a = 5$ см и $b = 6$ см медиана к боковой стороне равна $m = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^2 + 5^2} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 25} = \frac{1}{2}\sqrt{97} \approx 4{,}9\text{ см}$.

Она длиннее половины основания, но короче боковой стороны треугольника, поскольку соединяет вершину при основании с серединой соседней стороны, а не с серединой самого основания. Такое сравнение помогает быстро проверить правдоподобность полученного числового ответа.

Частые ошибки

• Медиана в равнобедренном треугольнике к боковой стороне не равна высоте, но её часто ошибочно приравнивают к ней.
• Путают половину основания с половиной боковой стороны при подстановке в формулу медианы к основанию.
• Забывают, что медиана делит противоположную сторону пополам, а не выходит из середины исходной стороны.

Коротко

Итог: как найти длину медианы в равнобедренном треугольнике — определить, к какой стороне она проведена, и выбрать нужную формулу. К основанию медиана равна высоте, к боковой стороне её находят через общую формулу медианы треугольника.