Как найти длину диагонали параллелограмма

Вопрос «Как найти длину диагонали параллелограмма» решают через теорему косинусов: d² = a² + b² − 2ab·cos α, где a и b — стороны, а α — угол между ними. Если вместо угла известна вторая диагональ, применяют равенство d1² + d2² = 2(a² + b²). В прямоугольнике косинус обнуляется, и диагональ считают по теореме Пифагора.

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

ромб, известна вторая диагональ. Сторона ромба $a = 5$ см, вторая диагональ $d_2 = 8$ см.

Чтобы найти длину диагонали параллелограмма в этом частном случае, применяют равенство суммы квадратов обеих диагоналей: $d_1^2 = 2\cdot25 + 2\cdot25 - 64 = 100 - 64 = 36$, откуда $d_1 = 6$ см.

Проверка через теорему Пифагора подтверждает результат: половины диагоналей 3 и 4 см вместе со стороной 5 см образуют прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

стороны и угол 60°. Стороны параллелограмма $a = 5$ см и $b = 8$ см, угол между ними $\alpha = 60°$.

По теореме косинусов подставляем известные значения прямо в основную формулу: $d^2 = 25 + 64 - 2\cdot5\cdot8\cdot0{,}5 = 89 - 40 = 49$, откуда $d = 7$ см.

Это короткая диагональ фигуры, а вторая при том же самом угле окажется заметно длиннее первой, ведь угол, смежный с данным острым углом, тупой.

Частые ошибки

• Берут угол не между теми сторонами, которые подставляют в формулу, и получают вторую диагональ вместо первой.
• Забывают, что для второй диагонали угол нужно брать смежный, то есть 180° − α, а не тот же самый.
• Путают равенство суммы квадратов диагоналей с теоремой Пифагора и теряют коэффициент 2 перед сторонами.

Коротко

Диагональ параллелограмма находят через теорему косинусов по сторонам и углу между ними либо через сумму квадратов обеих диагоналей, если вторая диагональ уже известна. Для прямоугольника и ромба вопрос «Как найти длину диагонали параллелограмма» решается через упрощённые частные случаи этих же формул.