Как найти длину 2 векторов

Как найти длину 2 векторов — для каждого вектора отдельно применить одну и ту же формулу.

Если вектор задан координатами на плоскости, длина вектора равна корню из суммы квадратов координат: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Если вектор задан двумя точками, сначала находят его координаты как разность координат конца и начала, а затем считают длину вектора по той же формуле. В пространстве под корнем появляется ещё и третья координата.

Разбор по случаям

Примеры

Векторы по координатам. Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (6; 8)$, оба отложены от начала координат.

Длину первого вектора находят по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$: возводим координаты в квадрат и складываем — $|\vec{a}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Для второго вектора расчёт полностью аналогичный: $|\vec{b}| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

Длина второго вектора ровно вдвое больше длины первого, потому что его координаты пропорциональны координатам первого вектора с коэффициентом 2.

Векторы по двум точкам. Даны точки $A(1; 2)$, $B(4; 6)$, $C(0; 0)$ и $D(-5; 12)$, а векторы заданы своими началами и концами, а не готовыми координатами.

Координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности координат конца и начала: $(4-1; 6-2) = (3; 4)$, поэтому $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.

Координаты вектора $\vec{CD}$ равны $(-5-0; 12-0) = (-5; 12)$, а его длина $|\vec{CD}| = \sqrt{(-5)^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Второй вектор длиннее первого почти в три раза, хотя обе точки взяты из соседних условий одной задачи.

Частые ошибки

• Складывают координаты вектора вместо возведения их в квадрат перед извлечением корня.
• При векторе, заданном двумя точками, вычитают координаты в обратном порядке — из начала вычитают конец.
• Забывают взять квадратный корень из суммы квадратов и оставляют ответ в виде числа под корнем.

Коротко

Как найти длину 2 векторов — применить формулу корня из суммы квадратов координат к каждому вектору по очереди, не смешивая их данные между собой. Результат — два отдельных числа, длина каждого вектора в выбранных единицах измерения.