Как найти длину диагонали параллелепипеда

Вопрос «Как найти длину диагонали параллелепипеда» решают по формуле d = √(a²+b²+c²), где a, b и c — три ребра, выходящие из одной вершины. Формула работает для прямоугольного параллелепипеда, у которого все углы между рёбрами прямые. Для куба, где все рёбра равны, формула упрощается до d = a√3. Диагональ можно найти и в два шага: сначала диагональ основания, затем через неё и высоту фигуры.

$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Разбор по случаям

Примеры

прямоугольный параллелепипед. Рёбра прямоугольного параллелепипеда $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 12$ см.

Диагонали параллелепипеда находят по формуле $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$: подставляем значения и получаем $d = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Сумма квадратов трёх рёбер здесь дала точный квадрат числа, поэтому корень извлёкся без остатка и без округления, а само число 13 оказалось целым. Такую диагональ иногда называют пространственной, в отличие от плоской диагонали одной из граней куба.

куб. Ребро куба $a = 5$ см.

Для куба все три ребра одинаковые, поэтому формула упрощается: $d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ см.

Корень из трёх здесь округлён до сотых, а значит и результат получается приближённым. Такая диагональ соединяет две противоположные вершины куба и проходит через его внутреннюю часть насквозь, а не по поверхности одной из граней куба.

Частые ошибки

• Складывают рёбра без возведения в квадрат вместо суммы их квадратов под корнем.
• Применяют формулу прямоугольного параллелепипеда к наклонному, где нужно учитывать углы между рёбрами.
• Путают диагональ параллелепипеда с диагональю одной из его граней и теряют третье измерение фигуры.

Коротко

Вопрос «Как найти длину диагонали параллелепипеда» решается через корень из суммы квадратов трёх рёбер, выходящих из одной общей вершины фигуры. Для куба формула сокращается до ребра, умноженного на корень из трёх, а для наклонного параллелепипеда добавляют слагаемые с косинусами углов.