Как найти длину вектора в пространстве

Как найти длину вектора в пространстве: координаты вектора возводят в квадрат, складывают результаты и извлекают квадратный корень из суммы. Если вектор задан координатами точек начала и конца, сначала из координат конца вычитают координаты начала, чтобы получить координаты самого вектора, а затем применяют ту же формулу с тремя слагаемыми под корнем. Формула работает для любого вектора в трёхмерной системе координат независимо от его направления.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор задан координатами. Вектор задан координатами $\vec{a} = (2; 3; 6)$.

Его длину находят по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Число получилось целым, потому что координаты образуют пифагорову тройку в пространстве, а не только на плоскости, как в привычной школьной задаче про прямоугольный треугольник. Проверить вычисление легко: сумма квадратов трёх координат должна дать точный квадрат целого числа.

Вектор по двум точкам. Точки $A(1;2;3)$ и $B(4;6;15)$ задают вектор $\vec{AB} = (3;4;12)$.

Длина вектора равна $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.

Такой результат удобно проверить: тройка чисел 3, 4, 12 и 13 тоже является пифагоровой, как и 3, 4, 5. Координаты самого вектора здесь получены вычитанием координат начала из координат конца по каждой из трёх осей отдельно.

Частые ошибки

• Забывают возвести в квадрат каждую координату вектора и складывают их без квадратов.
• Путают координаты вектора с координатами точки его конца, не вычитая координаты начала.
• Извлекают квадратный корень из суммы координат вместо суммы их квадратов.

Коротко

Итог: как найти длину вектора в пространстве — возвести три координаты вектора в квадрат, сложить результаты и извлечь корень из суммы. Формула одинакова и для вектора, заданного сразу координатами, и для вектора между двумя точками.