Как найти катет, зная площадь

Как найти катет, зная площадь: удвоенную площадь делят на длину известного катета — так получают второй катет прямоугольного треугольника, потому что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его двух катетов. Если треугольник равнобедренный прямоугольный, оба катета равны между собой, и единственный катет находят как корень из удвоенной площади. Когда вместо второго катета известна гипотенуза, оба катета находят из системы двух уравнений: произведение катетов даёт удвоенную площадь, а сумма их квадратов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора.

$b = \dfrac{2S}{a}$

Разбор по случаям

Примеры

Площадь и один катет. Площадь прямоугольного треугольника равна $S=24$ см², один катет равен $a=6$ см.

Второй катет находят по формуле удвоенной площади: $b = 2S/a = 2\cdot24/6=48/6=8$ см.

Проверка по теореме Пифагора подтверждает результат: гипотенуза равна $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ см — стороны образуют классическую пифагорову тройку 6-8-10, знакомую по учебнику геометрии.

Равнобедренный треугольник. Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет площадь $S=18$ см².

Катеты равны между собой, поэтому используют формулу с корнем: $a=\sqrt{2S}=\sqrt{2\cdot18}=\sqrt{36}=6$ см.

Оба катета получились одинаковыми — по $6$ см каждый, а гипотенуза такого треугольника равна $6\sqrt{2}$ см, что приблизительно составляет $8{,}49$ см при подсчёте на калькуляторе.

Частые ошибки

• Делят площадь на известный катет без удвоения, забывая множитель одна вторая в формуле площади треугольника.
• Считают катеты равнобедренного прямоугольного треугольника через обычную формулу деления, не используя корень из удвоенной площади.
• Путают катет с гипотенузой при решении системы уравнений и в итоге получают заведомо неверный числовой ответ.

Коротко

Как найти катет, зная площадь, зависит от того, что ещё известно о треугольнике: второй катет, равенство катетов между собой или гипотенуза. Во всех случаях расчёт опирается на формулу площади прямоугольного треугольника как половины произведения его катетов.