Как найти модуль вектора

Ответ на вопрос, как найти модуль вектора, заключается в вычислении арифметического квадратного корня из суммы квадратов его координат. Если вектор задан координатами начальной и конечной точек, сначала определяют координаты самого вектора путем вычитания координат начала из координат конца. После этого применяют теорему Пифагора для двумерного или трехмерного пространства, получая абсолютную величину или длину соответствующего направленного отрезка.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Модуль вектора на плоскости по точкам. Даны точки $A(1, 4)$ и $B(4, 8)$. Находим координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая координаты начальной точки из конечной: $x = 4 - 1 = 3$, $y = 8 - 4 = 4$. Получаем вектор $\vec{AB}(3, 4)$.

Теперь находим модуль вектора по стандартной формуле: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: модуль вектора равен $5$.

Модуль трехмерного вектора. Задан пространственный вектор $\vec{v}(-2, 3, 6)$.

Чтобы вычислить модуль вектора, возведем каждую его координату в квадрат и извлечем квадратный корень из их суммы: $|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Отрицательный знак при возведении в квадрат опускается. Ответ: модуль равен $7$.

Модуль суммы двух векторов через длины и угол. Даны векторы $a$ и $b$. Известно, что длина первого вектора равна $3$, длина второго вектора равна $5$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Требуется найти модуль вектора суммы $c = a + b$. Для решения применяем формулу модуля суммы двух векторов через скалярное произведение. Модуль $c$ равен квадратному корню из суммы квадратов длин исходных векторов плюс удвоенное произведение их длин на косинус угла между ними.

Подставляем известные числовые значения в выражение: $3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$.

Вычисляем подкоренное значение: $9 + 25 + 30 \cdot 0.5 = 34 + 15 = 49$.

Извлекаем арифметический квадратный корень: $\sqrt{49} = 7$. Таким образом, искомый модуль результирующего вектора равен $7$.

Частые ошибки

• Опускание скобок при квадратном возведении отрицательной координаты приводит к неверному знаку под корнем.
• Извлечение квадратного корня из отдельных слагаемых вместо их суммы нарушает алгебраические правила.
• Вычитание координат конца из начала вместо наоборот дает противоположный вектор, хотя его модуль совпадает.

Коротко

Понимая, как найти модуль вектора, вы легко решите задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Достаточно верно определить координаты и найти корень из суммы их квадратов.