Как найти квадрат длины вектора

Чтобы понять, как найти квадрат длины вектора, достаточно использовать скалярное произведение вектора на самого себя или сумму квадратов его координат. В прямоугольной системе координат квадрат длины вектора равен сумме квадратов всех его проекций на оси. Если известны длины двух векторов и угол между ними, квадрат длины их суммы определяется по теореме косинусов. Квадрат длины вектора совпадает с его скалярным квадратом.

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение квадрата длины по координатам. Дано: вектор $\vec{a} = (3; -4; 12)$. Требуется найти квадрат его длины.

Решение: применяем формулу скалярного квадрата через координаты $|\vec{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$.

Подставляем значения: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + (-4)^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$.

Квадрат длины вектора равен 169. Ответ: 169.

Квадрат длины суммы двух векторов. Дано: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, угол между ними $\varphi = 60^\circ$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Решение: по формуле $|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$.

Вычисляем: $|\vec{c}|^2 = 2^2 + 5^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 25 + 20 \cdot 0.5 = 39$.

Ответ: 39.

Квадрат длины разности двух векторов. Даны два вектора $a$ и $b$. Известно, что квадрат длины первого вектора $a^2 = 25$, квадрат длины второго вектора $b^2 = 16$, а скалярное произведение этих векторов $a \cdot b = 6$. Требуется вычислить квадрат длины вектора $c$, заданного как разность $a - b$. Квадрат длины любого вектора равен его скалярному квадрату, поэтому $c^2 = (a - b)^2$.

Используя линейность скалярного произведения, раскроем квадрат разности: $c^2 = a^2 - 2(a \cdot b) + b^2$.

Подставим числовые данные в полученное выражение: $c^2 = 25 - 2 \cdot 6 + 16$. Выполним последовательные арифметические действия: $25 - 12 = 13$, затем $13 + 16 = 29$. Следовательно, квадрат длины искомого вектора разности равен $29$.

Частые ошибки

• Извлечение квадратного корня, когда требуется найти именно квадрат длины.
• Забывание знака минус при возведении отрицательных координат вектора в квадрат.
• Игнорирование удвоенного скалярного произведения при возведении в квадрат суммы двух векторов.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти квадрат длины вектора через скалярный квадрат или его координаты. Данный показатель равен сумме квадратов проекций и часто применяется в геометрических задачах.