Как найти косинус угла Б

Как найти косинус угла Б, зависит от вида треугольника. В прямоугольном треугольнике это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos B = \dfrac{BC}{AB}$.

В произвольном треугольнике угол Б лежит между сторонами $a$ и $c$, а косинус находят по теореме косинусов: $\cos B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, где $b$ — сторона, противоположная углу Б.

Тот же косинус получают через координаты векторов $BA$ и $BC$, разделив их скалярное произведение на произведение длин, что удобно для задач с точками на координатной плоскости.

$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник 3-4-5. В прямоугольном треугольнике ABC угол Б острый, катет $BC=3$ см прилежит к углу Б, гипотенуза $AB=5$ см, второй катет $AC=4$ см.

Косинус угла Б равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos B = \dfrac{3}{5} = 0,6$.

Проверка по теореме Пифагора подтверждает стороны: $3^2+4^2=5^2$.

Треугольник со сторонами 6, 7, 8. В треугольнике ABC известны стороны $BC=6$ см, $AB=7$ см и $AC=8$ см, где сторона $AC$ лежит напротив угла Б.

По теореме косинусов $\cos B = \dfrac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot 6\cdot 7} = \dfrac{21}{84} = 0,25$.

Угол Б получается острым, но заметно больше, чем в первом треугольнике.

Частые ошибки

• Путают, какая сторона лежит против угла Б, и подставляют в теорему косинусов не то значение b.
• В прямоугольном треугольнике берут катет, противолежащий углу Б, вместо прилежащего, и получают синус вместо косинуса.
• Забывают, что косинус тупого угла отрицателен, и записывают положительное значение там, где должен стоять знак минус.

Коротко

Как найти косинус угла Б, решают либо через отношение сторон в прямоугольном треугольнике, либо по теореме косинусов для произвольного треугольника. Выбор формулы зависит от того, какие стороны и углы даны в условии задачи.