Как найти линейный угол двугранного угла

Как найти линейный угол двугранного угла — в каждой из двух граней через одну точку ребра проводят луч, перпендикулярный этому ребру, и находят угол между двумя такими лучами.

В правильной пирамиде с квадратным основанием этот угол между боковой гранью и основанием находят через высоту пирамиды $H$ и апофему основания $a/2$: $\tan\varphi = \dfrac{H}{a/2}$.

Если фигура задана координатами, угол находят через нормали к плоскостям граней и их скалярное произведение.

$\tan\varphi = \frac{2H}{a}$

Разбор по случаям

Примеры

Правильная пирамида. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания $a=8$ см и высоту $H=6$ см. Апофема основания равна $\dfrac{a}{2}=4$ см.

Тангенс линейного угла между боковой гранью и основанием: $\tan\varphi = \dfrac{H}{a/2} = \dfrac{6}{4} = 1,5$, что даёт угол примерно $56^\circ$.

Через координаты и нормали. Одна грань лежит в плоскости с нормалью $\vec{n_1}=(0,0,1)$, другая — с нормалью $\vec{n_2}=(0,1,1)$.

Косинус угла между гранями: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{1}{1\cdot\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$, значит угол между гранями равен $45^\circ$.

Частые ошибки

• Берут угол между боковым ребром пирамиды и основанием вместо угла между гранью и основанием.
• Вместо апофемы основания подставляют в тангенс половину диагонали квадратного основания.
• Для нормалей к плоскостям забывают взять модуль скалярного произведения и получают тупой угол вместо острого.

Коротко

Как найти линейный угол двугранного угла — построить в обеих гранях перпендикуляры к общему ребру из одной точки и измерить угол между ними. На практике этот угол чаще всего находят через высоту и апофему пирамиды или через нормали граней, заданных координатами.