Как найти тангенс угла, зная косинус

Чтобы понять, как найти тангенс угла, зная косинус, сначала находят синус из основного тригонометрического тождества: $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$ для острого угла.

Тангенс затем равен отношению синуса к косинусу: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Если угол тупой и лежит во второй четверти, косинус отрицателен, а синус остаётся положительным, поэтому итоговый тангенс получается отрицательным по знаку. Такой способ подходит для любого угла окружности, если заранее известна его четверть.

Разбор по случаям

Примеры

Острый угол, cos α = 3/5. Дано $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, угол острый.

Находим синус через тождество: $\sin\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.

Тангенс равен $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}$.

Такой косинус соответствует прямоугольному треугольнику со сторонами 3, 4 и 5 см, где катет 3 прилежит острому углу, а катет 4 лежит напротив него, что и даёт значение тангенса.

Тупой угол, cos α = −1/2. Дано $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, угол тупой и лежит во второй четверти.

Синус положителен: $\sin\alpha = \sqrt{1-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt3}{2}$.

Тангенс равен $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt3$, знак минус появляется именно из-за отрицательного косинуса во второй четверти окружности, а не из-за самого синуса.

Частые ошибки

• Берут положительный корень для синуса даже в тех четвертях, где синус на самом деле отрицателен, особенно в третьей и четвёртой.
• Забывают, что знак тангенса во второй четверти определяет именно отрицательный косинус, а не сам синус.
• Делят косинус на синус вместо синуса на косинус и получают котангенс вместо тангенса, что меняет весь дальнейший ответ.

Коротко

Итог: тангенс угла через известный косинус находят, сначала вычислив синус по тождеству $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, а затем разделив синус на косинус. Как найти тангенс угла, зная косинус, для тупых углов — определяет знак той четверти, в которой он расположен.