Как найти синус угла в равностороннем треугольнике

Как найти синус угла в равностороннем треугольнике — не считать заново, а взять табличное значение: $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0,87$, оно не зависит от длины стороны треугольника.

Это значение получают из прямоугольного треугольника, который образует высота, опущенная к основанию: высота равна стороне, умноженной на синус 60°, то есть $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{a}$.

Тот же результат даёт и формула площади через две стороны и угол между ними.

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$

Разбор по случаям

Примеры

Через высоту. В равностороннем треугольнике сторона $a=6$ см.

Высота делит его на два прямоугольных треугольника с углом $60^\circ$: $h=a\sin 60^\circ = 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5,2$ см.

Отсюда синус угла: $\sin 60^\circ=\dfrac{h}{a}=\dfrac{3\sqrt3}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0,87$.

Через площадь. В равностороннем треугольнике сторона $a=10$ см, площадь $S=25\sqrt3$ см² по формуле $S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Синус угла: $\sin 60^\circ = \dfrac{2S}{a^2} = \dfrac{50\sqrt3}{100} = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0,87$.

Результат совпадает со значением из первого способа.

Частые ошибки

• Считают, что синус угла равностороннего треугольника зависит от длины стороны, хотя он всегда равен √3/2.
• Путают высоту равностороннего треугольника со стороной при вычислении синуса через отношение h/a.
• Берут значение синуса 30°, а не 60°, перепутав угол при основании с углом получившегося прямоугольного треугольника.

Коротко

Как найти синус угла в равностороннем треугольнике — вспомнить, что все его углы равны 60°, а значит их синус всегда равен √3/2 независимо от размеров треугольника. Через высоту, площадь или основное тригонометрическое тождество получают то же самое число, просто другим путём и с другими исходными данными.