Как найти площадь поверхности куба, зная диагональ

Как найти площадь поверхности куба, зная диагональ: сначала находят ребро куба делением диагонали на корень из трёх. Затем площадь полной поверхности вычисляют по формуле шесть умножить на квадрат ребра, ведь у куба шесть одинаковых квадратных граней. Если вместо диагонали куба дана диагональ его грани, ребро находят делением на корень из двух.

$S = 6 \left( \frac{d}{\sqrt{3}} \right)^2$

Разбор по случаям

Примеры

Диагональ куба равна 6√3 см. Диагональ куба равна $d = 6\sqrt{3}$ см.

Ребро куба находят делением на корень из трёх: $a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Площадь полной поверхности равна $S = 6 a^2 = 6 \cdot 36 = 216$ см².

Такой куб имеет шесть граней по $36$ квадратных сантиметров каждая. Проверка: диагональ грани такого куба равна $6\sqrt{2}$ см, а диагональ самого тела длиннее и равна $6\sqrt{3}$ см.

Диагональ грани равна 5√2 см. Диагональ одной грани куба равна $d_{face} = 5\sqrt{2}$ см.

Ребро находят делением на корень из двух: $a = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ см.

Площадь полной поверхности равна $S = 6 \cdot 5^2 = 150$ см². Диагональ грани короче диагонали самого куба при том же ребре. Проверка: одна грань такого куба имеет площадь $5^2 = 25$ см², а все шесть граней вместе дают $6 \cdot 25 = 150$ см².

Частые ошибки

• Делят диагональ куба на корень из двух вместо корня из трёх для пространственной диагонали.
• Забывают возвести ребро в квадрат перед умножением на 6 и получают заниженный результат.
• Путают диагональ грани куба с диагональю самого тела, у них разные формулы для ребра.

Коротко

Как найти площадь поверхности куба, зная диагональ — сначала найти ребро делением диагонали на корень из трёх, затем умножить квадрат ребра на 6. Диагональ грани и диагональ куба дают разное ребро, формулы для них различаются.