Как найти радиус сферы, зная площадь её поверхности

Как найти радиус сферы, зная площадь её поверхности: из формулы $S = 4\pi r^2$ выражают радиус $r = \sqrt{S/(4\pi)}$. Площадь делят на учетверённое число пи, а из полученного частного извлекают квадратный корень — это и есть искомый радиус. Единицы измерения радиуса совпадают с единицами длины стороны, которой измерялась площадь: квадратные сантиметры дают ответ в сантиметрах, квадратные метры — в метрах. Приближённое значение $\pi \approx 3{,}14$ подходит для большинства школьных задач, а дробь $22/7$ упрощает вычисления с круглыми числами.

$r = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$

Разбор по случаям

Примеры

Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы равна $S = 616\text{ см}^2$. Для точного счёта берём $\pi \approx 22/7$, поскольку число $616$ кратно $22$ без остатка.

Из формулы $r^2 = \dfrac{S}{4\pi} = \dfrac{616 \cdot 7}{4 \cdot 22} = \dfrac{4312}{88} = 49$ находим радиус: $r = \sqrt{49} = 7\text{ см}$.

Диаметр сферы получается равным $d = 14\text{ см}$, а объём шара по формуле $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ составляет примерно $1436\text{ см}^3$. Подстановка радиуса обратно в исходную формулу подтверждает результат: площадь снова равна $616\text{ см}^2$, значит вычисление верное. Такой способ подходит для любых круглых чисел площади.

Длина окружности. Длина окружности большого круга равна $C = 62{,}8\text{ см}$, берём $\pi \approx 3{,}14$.

Радиус находим по формуле $r = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{62{,}8}{2 \cdot 3{,}14} = \dfrac{62{,}8}{6{,}28} = 10$.

Получаем $r = 10\text{ см}$, а площадь поверхности сферы тогда $S = 4\pi r^2 \approx 1256\text{ см}^2$.

Такой способ удобен, когда в задаче измерена именно окружность, а не сама площадь, например при обмере шарообразного предмета лентой. Диаметр в этом случае равен $d = 20\text{ см}$. Оба способа дают одинаковый результат для одной и той же сферы.

Частые ошибки

• Забывают возвести в квадрат перед делением площади на учетверённое число пи и получают радиус в разы больше настоящего.
• Путают радиус с диаметром и подставляют в формулу удвоенное значение.
• Смешивают единицы измерения: подставляют площадь в квадратных метрах, а ответ записывают в сантиметрах без пересчёта.

Коротко

Как найти радиус сферы, зная площадь её поверхности, показывает формула $r = \sqrt{S/(4\pi)}$: площадь делят на учетверённое число пи и извлекают квадратный корень. Тот же радиус получают через длину окружности большого круга или объём шара, если площадь в условии не дана.