Как найти периметр и площадь прямоугольного треугольника

Как найти периметр и площадь прямоугольного треугольника: периметр равен сумме двух катетов и гипотенузы, площадь — половине произведения катетов. Если гипотенуза неизвестна, её находят по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Когда дан только один катет и угол, второй катет и гипотенузу находят через синус и тангенс этого угла, а затем считают периметр и площадь по тем же формулам.

$S = \frac{1}{2}ab$

Разбор по случаям

Примеры

Два катета. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 9\text{ см}$ и $b = 12\text{ см}$.

По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15\text{ см}$.

Периметр равен $P = 9+12+15 = 36\text{ см}$, площадь — $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\text{ см}^2$.

Оба ответа получают без дополнительных построений, только сложением и умножением известных чисел. Такую тройку чисел легко узнать, потому что она кратна классической тройке три, четыре, пять.

Катет и гипотенуза. Катет $a = 8\text{ см}$, гипотенуза $c = 17\text{ см}$.

Второй катет находят по теореме Пифагора: $b = \sqrt{17^2-8^2} = \sqrt{225} = 15\text{ см}$.

Периметр составляет $P = 8+15+17 = 40\text{ см}$, площадь — $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60\text{ см}^2$.

Такой порядок действий подходит для любой пары катет-гипотенуза, встречающейся в задачах. Такую тройку чисел тоже стоит запомнить, она часто встречается в задачах на теорему Пифагора.

Частые ошибки

• В формулу площади подставляют катет и гипотенузу вместо двух катетов, получая неверное число, особенно если катеты и гипотенуза даны в разном порядке.
• При использовании теоремы Пифагора путают, что нужно найти — катет или гипотенузу, и вычитают не в ту сторону, что приводит к отрицательному числу под корнем.
• Забывают разделить произведение катетов пополам и находят вдвое большую площадь треугольника, что вдвое превышает правильный ответ.

Коротко

Периметр и площадь прямоугольного треугольника вычисляются по разным формулам: периметр — сложением трёх сторон, площадь — через катеты. Как найти периметр и площадь прямоугольного треугольника, если известна не пара катетов, а катет с гипотенузой или углом, показывают формулы теоремы Пифагора и тригонометрии.