Как найти углы прямоугольного треугольника, зная стороны

Как найти углы прямоугольного треугольника, зная стороны — тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, синус — отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе. К найденному значению применяют обратную функцию — арктангенс, арксинус или арккосинус — и получают угол в градусах на калькуляторе. Второй острый угол находят вычитанием первого из 90°, а результат проверяют сложением обоих углов.

$\tan A = \frac{a}{b}, \quad A = \arctan\frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Треугольник 3-4-5. В треугольнике с катетами $a=3\text{ см}$, $b=4\text{ см}$ и гипотенузой $c=5\text{ см}$ находим $\sin A = \frac{3}{5} = 0{,}6$, отсюда $A = \arcsin 0{,}6 \approx 37^\circ$.

Такой треугольник называют египетским, его часто используют для проверки прямого угла на местности без специальных инструментов и приборов, например строители размечают углы фундамента.

Второй острый угол $B = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.

Проверка через $\sin B = \frac{4}{5} = 0{,}8$ подтверждает найденное значение $53^\circ$, а сумма углов равна $90^\circ$.

Треугольник 5-12-13. Катеты треугольника $a=5\text{ см}$ и $b=12\text{ см}$, гипотенуза $c=13\text{ см}$.

Тангенс угла напротив меньшего катета $\tan A = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$, значит $A \approx 23^\circ$.

Такую тройку чисел тоже относят к пифагоровым, поскольку сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы этого треугольника, что легко проверить отдельно.

Второй острый угол $B = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$, а сумма углов $23^\circ + 67^\circ = 90^\circ$ подтверждает правильность всего расчёта.

Частые ошибки

• Путают, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к нужному углу, и берут не ту функцию.
• Забывают, что сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна ровно 90 градусам.
• Округляют найденный угол слишком грубо и не проверяют его через вторую тригонометрическую функцию.

Коротко

Чтобы найти угол, по известным сторонам выбирают подходящую тригонометрическую функцию и берут от полученного значения обратную функцию — арксинус, арккосинус или арктангенс. Как найти углы прямоугольного треугольника, зная стороны, показывают оба примера с проверкой через сумму острых углов, равную 90 градусам.