Как найти периметр ромба по диагоналям

Как найти периметр ромба по диагоналям: половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник, потому что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Сторону находят по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов половин диагоналей, а периметр получают умножением найденной стороны на четыре, поскольку у ромба все четыре стороны равны между собой.

$P = 4\sqrt{\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Диагонали 6 и 8 см. Диагонали ромба равны $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.

Точка их пересечения делит каждую диагональ пополам, поэтому половины диагоналей равны $3$ см и $4$ см — они служат катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба выступает его гипотенузой: $a = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как у ромба все стороны равны, периметр равен произведению стороны на четыре: $P = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Диагонали 16 и 12 см. Диагонали ромба равны $d_1 = 16$ см и $d_2 = 12$ см.

Каждая из них при пересечении делится пополам, поэтому половины диагоналей составляют $8$ см и $6$ см — это катеты прямоугольного треугольника внутри ромба, а сторона равна его гипотенузе: $a = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Тогда периметр всего ромба равен $P = 4 \cdot 10 = 40$ см, и этот результат легко проверить сложением всех четырёх равных сторон.

Частые ошибки

• Подставляют в теорему Пифагора целые диагонали вместо их половин и получают завышенную сторону ромба.
• Складывают диагонали вместо того, чтобы найти сторону через квадратный корень из суммы квадратов их половин.
• Забывают умножить найденную сторону на четыре и путают периметр ромба с длиной одной его стороны.

Коротко

Как найти периметр ромба по диагоналям — сложить квадраты половин диагоналей, извлечь корень и умножить полученную сторону на четыре. При диагоналях 6 и 8 см получается сторона 5 см и периметр 20 см, а при диагоналях 16 и 12 см — сторона 10 см и периметр 40 см.