Как найти площадь боковой поверхности усечённого конуса

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности усечённого конуса, берут радиусы обоих оснований R и r и образующую l — отрезок, соединяющий края окружностей на боковой поверхности. Формула: S = π × (R + r) × l. Если даны только диаметры, их сначала делят пополам, получая радиусы. Если образующая неизвестна, а даны высота и радиусы, её находят через теорему Пифагора: l² = h² + (R − r)², а затем результат подставляют в основную формулу площади боковой поверхности. Та же формула работает и для полного конуса, если один из радиусов равен нулю.

$S = \pi (R + r) l$

Разбор по случаям

Примеры

радиусы 5 и 3 см, образующая 6 см. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R = 5 \text{ см}$ и $r = 3 \text{ см}$, образующая равна $l = 6 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности: $S = \pi (5 + 3) \times 6 = 48\pi \approx 150,8 \text{ см}^2$.

Число π округлено до десятых, поэтому итоговый ответ дан с приближением, а не точным значением.

Проверка обратным действием: $48\pi : (\pi \times 6) = 8$, а $R + r = 5 + 3 = 8$ — значения совпадают.

диаметры 10 и 4 см, образующая 7 см. Диаметры оснований равны $D = 10 \text{ см}$ и $d = 4 \text{ см}$, значит радиусы равны $R = 5 \text{ см}$ и $r = 2 \text{ см}$. Образующая равна $l = 7 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности: $S = \pi (5 + 2) \times 7 = 49\pi \approx 153,9 \text{ см}^2$.

Проверка: $49\pi : (\pi \times 7) = 7$, а сумма радиусов $5 + 2 = 7$ — числа совпадают.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу диаметры вместо радиусов, получая площадь вчетверо больше нужной.
• Путают образующую с высотой конуса, хотя это разные отрезки боковой поверхности.
• При поиске образующей через теорему Пифагора путают разность радиусов с их суммой.

Коротко

Как найти площадь боковой поверхности усечённого конуса, определяет одна формула: S = π(R + r)l, где R и r — радиусы оснований, а l — образующая. Если известны диаметры или только высота, их сначала переводят в радиусы и образующую, а затем считают по той же формуле.